【向量什么时候垂直】在数学中，尤其是向量代数中，“垂直”是一个非常重要的概念。两个向量是否垂直，可以通过它们的点积（内积）来判断。掌握“向量什么时候垂直”的知识，有助于理解几何关系、物理中的力分析以及计算机图形学中的方向问题。
一、
当两个向量的点积为零时，这两个向量就是垂直的。换句话说，如果向量 a 和向量 b 满足：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
那么 a 与 b 是互相垂直的。
这个结论适用于二维和三维空间中的向量，甚至可以推广到更高维的空间中。
此外，垂直向量在实际应用中具有重要意义。例如，在物理中，力的方向与运动方向垂直时，该力不做功；在计算机图形学中，法向量与表面垂直，用于光照计算等。
二、表格：向量何时垂直？
| 向量形式 | 判断条件 | 是否垂直 |
| 二维向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2)$ | $a_1b_1 + a_2b_2 = 0$ | 是 |
| 三维向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ | $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$ | 是 |
| 向量方向相同或相反 | 点积不为零（除非其中一个为零向量） | 否 |
| 零向量与任何向量 | 由于零向量与所有向量点积为零 | 是（但通常认为零向量与任何向量“正交”，但无明确方向） |
三、注意事项
- 零向量（即所有分量都为零的向量）与任何向量的点积都是零，因此在某些定义下被认为是“垂直”的，但在实际应用中往往不单独讨论这种情况。
- 如果两个向量的夹角为90度，则它们一定垂直。
- 在三维空间中，若两个向量垂直，它们可能构成一个直角坐标系的一部分。
通过上述内容可以看出，判断两个向量是否垂直的关键在于计算它们的点积。只要点积为零，即可确定它们垂直。这一方法简单、实用，是向量分析中的基础知识点之一。