【不定积分公式】在微积分的学习过程中，不定积分是一个非常重要的概念。它与导数相对应，是求原函数的过程。掌握常见的不定积分公式，对于解决各种数学问题具有重要意义。以下是对常见不定积分公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本不定积分公式
| 被积函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数的不定积分
| 被积函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ \sin(ax + b) $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C $ | ||
| $ \cos(ax + b) $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
三、反三角函数的不定积分
| 被积函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $ \arctan x + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ | ||
| $ \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arccos x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \frac{1}{a} \text{arcsec}\left(\frac{ | x | }{a}\right) + C $ |
四、其他常用不定积分公式
| 被积函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
总结
不定积分是微积分中的基础内容之一，熟练掌握这些公式不仅有助于解题效率的提升，还能加深对函数变化规律的理解。在实际应用中，还需结合换元法、分部积分等技巧，灵活运用这些公式解决问题。建议在学习过程中不断练习和总结，逐步提高自己的解题能力。