【等比数列的通项公式介绍】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为“公比”。在实际应用中，等比数列广泛用于金融、物理、计算机科学等多个领域。掌握等比数列的通项公式是理解和运用该数列的关键。
等比数列的一般形式为：
$$ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，满足：
$$ a_{n} = a_1 \cdot r^{n-1} $$
这就是等比数列的通项公式。
通项公式总结
| 项目 | 内容 |
| 数列类型 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的比值为常数（公比） |
| 首项 | $ a_1 $ |
| 公比 | $ r $，且 $ r \neq 0 $ |
| 第n项 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 特点 | 后项 = 前项 × 公比 |
| 应用 | 复利计算、几何增长、递推关系等 |
示例说明
假设一个等比数列为：
$$ 3, 6, 12, 24, 48 $$
这里，首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ r = 2 $。
根据通项公式：
$$ a_n = 3 \cdot 2^{n-1} $$
例如：
- 当 $ n=1 $，$ a_1 = 3 \cdot 2^0 = 3 $
- 当 $ n=2 $，$ a_2 = 3 \cdot 2^1 = 6 $
- 当 $ n=3 $，$ a_3 = 3 \cdot 2^2 = 12 $
- 当 $ n=4 $，$ a_4 = 3 \cdot 2^3 = 24 $
注意事项
- 如果公比 $ r > 1 $，数列呈指数增长；
- 如果 $ 0 < r < 1 $，数列呈指数衰减；
- 若 $ r = 1 $，则所有项相等，为常数数列；
- 若 $ r < 0 $，数列呈现正负交替的趋势。
通过理解等比数列的通项公式，可以更有效地分析和预测数列的变化趋势，为后续学习等比数列的求和、性质等内容打下坚实基础。