【等差等比数列公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数列求和、通项计算等方面有着广泛的应用。本文将对这两种数列的基本公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其特点与公式。
一、等差数列
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为“公差”，通常用 $ d $ 表示。
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $：第 $ n $ 项
- $ a_1 $：首项
- $ d $：公差
2. 前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
或写成：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
二、等比数列
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为“公比”，通常用 $ r $ 表示。
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
其中：
- $ a_n $：第 $ n $ 项
- $ a_1 $：首项
- $ r $：公比
2. 前 $ n $ 项和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
或
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，此时：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、总结对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项之差为常数 | 每项与前一项之比为常数 |
| 公差/公比 | 公差 $ d $ | 公比 $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 当 $ d = 0 $，数列为常数列 | 当 $ r = 1 $，数列为常数列 |
四、应用举例
等差数列例子：
数列：3, 5, 7, 9, 11
公差 $ d = 2 $，首项 $ a_1 = 3 $
第 5 项：$ a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 11 $
前 5 项和：$ S_5 = \frac{5}{2}(3 + 11) = 40 $
等比数列例子：
数列：2, 6, 18, 54, 162
公比 $ r = 3 $，首项 $ a_1 = 2 $
第 5 项：$ a_5 = 2 \times 3^{4} = 162 $
前 5 项和：$ S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242 $
五、小结
等差数列和等比数列是数列学习中的基础内容，掌握它们的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常关键。理解两者的区别与联系，有助于在更复杂的数学问题中灵活运用。